Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan Sdisebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi f atau { }.
● a Î S dibaca “a elemen S”, dan jika a bukan anggota himpunan S, ditulis sebagai a Ï S.
● Suatu himpunan dituliskan dalam huruf kapital : A, B, ..
● Cara menuliskan anggauta suatu himpunan :
didaftar, contoh A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} atau
menuliskan syarat keanggautaannya, contoh :
• Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A Ì B , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Tidak sulit dipahami bahwa untuk sebarang himpunan A, berlaku ø Ì A.
• Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A Ì B , jika setiap anggota Amerupakan anggota B. Tidak sulit dipahami bahwa untuk sebarang himpunan A, berlaku ø ÌA.
• Himpunan semua bilangan asli adalah N = {1, 2, 3,……..}, dan himpunan ini tertutup terhadap operasi (+) dan (x), artinya dan untuk setiap x, y Î N Þ x+y Î N dan xy Î N. Himpunan bilangan asli bersama-sama dengan bilangan 0 dan bilangan bulat negatip membentuk sistem bilangan bulat ditulis Z.
• Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q, dengan
Q = {a/b |a Î Z dan b Î N}
• Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah Ö2 dan p.
• Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R.
1.1.1 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Untuk sebarang bilangan real a, b, c, dan d berlaku sifat-sifat
sebagai berikut:
1) Komutatif : (i) a + b = b + a ; (ii) ab = ba.
2) Assosiatif : (i) a + (b + c) = (a + b)+c = a + b + c; (ii) a(bc) = (ab) c = abc;
3) Distributif : a(b + c) = ab + ac;
4) (i) a/b = a (1/b), b ¹ 0; (ii) (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/bd; (iii) (a/b) (c/d) = (ac)/(bd), dengan b¹ 0 , d ¹ 0.
5) (i) a (- b) = (- a)b = - (ab); (ii) (- a)(- b) = ab; (iii) – (- a) = a.
6) (i) 0/a = 0, untuk a ¹ 0; (ii) a/0 tidak terdefinisi; (iii) a/a = 1, untuk a ¹ 0.
7) Hukum kanselisasi : (i) jika ac = bc dan c ¹ 0 Þ a = b; (ii) jika b, c ¹ 0 Þ (ac)/(bc) = a/b.
Sifat pembagi nol : jika ab = 0 Þ a = 0 atau b = 0
1.1.2. Relasi Urutan
• Himpunan semua bilangan real R meliputi : (i). Himpunan semua bilangan real positif (R+); (ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota atau {0} ; dan (iii). Himpunan semua bilangan real negatif (R-).
• Untuk sebarang bilangan real a dan b : a < b jika b – a > 0 dan a > b jika b < a . Mudah ditunjukkan bahwa : jika a bilangan positip Û a > 0 dan a bilangan negatip Û a < 0
• Jika a kurang dari atau sama dengan b ditulis a £ b, dan jika a lebih dari atau sama dengan b ditulis a ³ b.
• a < b < c mempunyai arti a < b dan b < c.
Beberapa sifat yang penting relasi urutan :
(i) jika a £ b Þ a + c £ b + c ;
(ii) jika a £ b dan b £ c Þ a £ c ;
(iii) jika a £ b dan c > 0 Þ ac £ bc;
(iv) jika a £ b dan c < 0 Þ ac ³ bc;
(v) jika a > 0 Þ 1/a > 0 dan jika 0 < a £ b Þ 1/b £ 1/a;
(vi) untuk sembarang bilangan real a dan b salah satu pasti berlaku a < b atau a = b atau a > b ;
(vii) jika a, b ³ 0 Þ a £ b Û a2 £ b2 Û Öa £ Ö b
1.1.3. Garis Bilangan
Secara geometris, sistem bilangan real Rdapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-titik di sebelah kiri O.
1.1.4. Pertidaksamaan
• Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya Rmaka perubahnya disebut perubah real.
• Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, £, ³).
• Sebagai contoh : 1) 2x – 7 < 5x + 2 ; 2) (2x – 1)/(x + 5) > 9;
3) x2 + y2£ 9 4) x2– x – 12 < 0
• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti mencari sejumlah bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tersebut dan disebut penyelesaian. Sifat-sifat biangan real digunakan di sini.
• Contoh 1.1.2 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan : 2x – 5 < 5x + 7.
Penyelesaian:
2x – 5 < 5x + 7 Û 2x – 5 – 5x + 5 < 5x + 7 – 5x + 5
Û - 3x < 12 Û - 3x (- 1/3) > 12 (- 1/3)
Û x > - 4
sehingga HP adalah : { x ÎR | x > - 4}
• Contoh 1.1.3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan : x2 – 5x + 6 > 0.
Penyelesaian: faktorkan ruas kiri pertidaksamaan di atas, dan diperoleh (x – 2)(x – 3) > 0. Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif, sehingga :
(i) jika kedua faktor positip maka x – 2 > 0 dan x – 3 > 0 Û x > 2 dan x > 3, sehingga diperoleh x > 3.
(ii) jika kedua faktor negatip maka x – 2 < 0 dan x – 3 < 0 Û x <2 dan x < 3, sehingga diperoleh x < 2.
Jadi HP adalah : { x Î R | x < 2 atau x > 3 }
Contoh 1.1.4 Tentukan penyelesaian x3 – 2x2– x + 1 £ - 1.
Penyelesaian: Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh : x3– 2x2 – x + 2 £ 0 Û (x – 1)(x + 1)(x – 2) £ 0. Jika (x – 1)(x + 1)(x – 2) = 0, maka diperoleh : x = 1, x = -1, dan x = 2 . Jadi HP : { x Î R | x £ - 1 atau 1 £ x £ 2}, selanjutnya, perhatikan tabel berikut :
Contoh 1.1.5 Selesaikan (2x+6)/(x-2) £ (x+1)
Penyelesaian : apabila kedua ruas ditambah –(x+1), diperoleh :
(2x+6)/(x-2) - (x+1) £ 0 Û (2x+8-x2+x+2) / (x-2) £ 0 Û (x2-3x+10) / (x-2) ³ 0 Û (x-5)(x+2) / (x-2)Û ³ 0.
Dengan demikian HP : { x Î R | -2 £ x < 2 atau x ³ 5}
1.1.5. Nilai Mutlak
• Definisi : Nilai mutlak x Î R, ditulis |x|, didefinisikan sebagai |x|= Ö x2 atau dinyatakan sebagai :
x, x ³ 0
|x|=
- x, x < 0
- Beberapa Sifat Nilai Mutlak |x| :
(i) |x|³ 0 dan |x|= 0 Û x = 0
(ii) |xy|= |x||y| dan |x / y|= |x|/ |y|, asal y ¹ 0
(iii) ||x|- |y||£ |x + y|£ |x|+ |y|
(iv) ||x|- |y||£ |x - y|£ |x|+ |y|
(v) Jika a ³ 0 , maka |x|= a Û x = a atau x = - a
(vi) Jika a ³ 0 , maka |x| £ a Û - a £ x £ a dan |x| ³ a Û x £ - a atau x ³ a
1.1.6. Selang (Interval)
• Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan a < b . Berturut-turut didefinisikan :
[a, b] = { x | a £ x £ b} (a, b) = { x | a < x < b}
[a, b) = { x | a £ x < b} (a, b] = { x | a < x £ b}
[a, ¥) = { x | x ³ a} (a, ¥) = { x | x > a}
(¥, a] = { x | x £ a} (¥, a) = { x | x < a}
1.2. Sistem Koordinat
1.2.1 Sistem Koordinat Cartesius Lanjutan
• Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan (x, y) . Titik mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah |y| dan |x| .
• Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik Pterletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebutabsis titik P sedangkan y disebut ordinattitik P.
1.2.2. Sistem Koordinat Kutub (Polar)
• Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan (x, y) , denganxdan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-Y dan ke sumbu-X. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real (r, q) , denganrmenyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan q adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-X positif (disebut sumbu kutub), seperti tampak gambar berikut.
1.2.2. Sistem Koordint Kutub Lanjutan
• Dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik (3, p/3) dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar p/3 radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O. Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat (3, p/3+2kp), dengan k bilangan bulat, koordinat titik P dapat juga dinyatakan sebagai (-3, 4p/3). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif karenakan titik Pterletak pada bayangan sinar OP’.
• Secara umum, jika (r, q) menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat itu juga dinyatakan sebagai : (r, q + 2kp) atau (-r, q + (2k+1)p) dengan k bilangan bulat.
1.2.3. Hubungan Antara Koordinat Kartesius dan Kutub
• Suatu titik P berkoordinat (x,y) dalam sistem koordinat Cartesius dan (r, q) dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu-xpositif juga diimpitkan, maka kedudukan titik tampak pada gambar berikut :
• Hubungan itu akan diperoleh menggunakan rumus segitiga, yakni :
x = r cos q dan y = r sin q atau
r = Ö x2 + y2 dan q = arc sin (y/r) = arc cos (x/r)
Mantap Bro, izin copass
BalasHapus